仮説検定(t検定・比率の検定・過誤)

仮説検定とは、母集団に関する仮説を標本データに基づいて統計的に検証する手続きである。日本統計学会が公表する統計検定2級の出題範囲表(公式シラバス)では「仮説検定の考え方」「有意水準」「棄却域」「検定統計量」「P-値」が明示されており、CBT方式の本試験でもほぼ毎回複数問が出題される最重要分野である。手順は、否定したい主張を帰無仮説H0、示したい主張を対立仮説H1として設定し、有意水準α(慣例的に5%または1%)を定め、標本から検定統計量を計算し、p値または棄却域との比較で判断する。p値が有意水準を下回れば帰無仮説を棄却して対立仮説を採択する。一方、p値がα以上の場合は「帰無仮説を棄却できない」と結論するのであって、「帰無仮説が正しいことが証明された」わけではない。この結論の非対称性はCBTの選択肢問題で繰り返し問われる論点であり、検定は対立仮説を積極的に示すための枠組みであると理解しておくことが肝要である。

母平均に関する検定は、母標準偏差σが既知か未知かで方法を使い分ける。σが既知の場合は検定統計量z=(x̄−μ0)/(σ/√n)が帰無仮説の下で標準正規分布N(0,1)に従うことを利用するz検定を行う。しかし実際にはσが未知であることがほとんどで、この場合は不偏分散から求めた標本標準偏差sでσを置き換えた統計量t=(x̄−μ0)/(s/√n)を用いる。帰無仮説の下でこのtは自由度n−1のt分布に従い、これを1標本t検定と呼ぶ。t分布は標準正規分布より裾が厚い左右対称の分布であり、自由度が大きくなるにつれて標準正規分布に近づくという性質を持つ。この性質自体も択一問題として出題実績がある。棄却域はt分布表(試験で配布される付表)の臨界値で定め、両側検定では有意水準αを両裾にα/2ずつ配分する。標本サイズが十分大きければ中心極限定理により正規近似が使える点も併せて押さえる。

2標本の母平均の差の検定では、データ構造の見極めが第一歩である。同一対象の投薬前後の測定のような「対応のある2標本」では、各対の差d_i=x_i−y_iを計算し、差の母平均が0か否かを検定する1標本t検定に帰着させる。このとき自由度は対の数nに対しn−1である。一方、異なる集団から独立に抽出した「独立な2標本」で両群の母分散が等しいと仮定できる場合は、プールした分散s_p²=((n₁−1)s₁²+(n₂−1)s₂²)/(n₁+n₂−2)を用いて検定統計量を作り、自由度n₁+n₂−2のt分布で検定する。等分散が仮定できない場合はウェルチ(Welch)の検定を用い、自由度は近似式(Welch-Satterthwaiteの式)で与えられる。出題範囲表にも「2標本の平均値差の検定」が明記されており、対応の有無の判別・プールした分散の計算・自由度の値はCBTで頻出の具体的論点である。

母比率の検定は、二項分布の正規近似に基づいて行うのが2級の標準的な出題である。標本比率p̂=X/nについて、帰無仮説H0: p=p0の下では、np0とn(1−p0)がともに十分大きければ、検定統計量z=(p̂−p0)/√(p0(1−p0)/n)が近似的に標準正規分布N(0,1)に従う。ここで標準誤差の計算に用いるのは標本比率p̂ではなく帰無仮説の値p0である点が最大の注意点であり、信頼区間の構成ではp̂(1−p̂)/nを用いることとの対比で問われる。また2つの母比率の差の検定では、帰無仮説p₁=p₂の下で両標本を合算したプールした比率を用いて標準誤差を計算する。本試験では視聴率・内閣支持率・製品の不良率などの文脈で数値計算をさせる形式が定番であり、平方根の中の計算を素早く正確に処理する訓練が得点に直結する。

検定の誤りには2種類ある。第一種の過誤(第1種の過誤)は帰無仮説が真であるのに棄却してしまう誤りで、その確率は有意水準αによって制御される。第二種の過誤(第2種の過誤)は帰無仮説が偽であるのに棄却しない誤りで、その確率をβと書き、1−βを検出力と呼ぶ。出題範囲表にも「第1種の過誤」「第2種の過誤」「検出力」の用語がそのまま掲載されている。標本サイズnを固定したままαを小さくするとβは大きくなるというトレードオフ関係があり、両者を同時に小さくするにはnを大きくするほかない。また検出力は、真の母数の値が帰無仮説の値から離れているほど、αが大きいほど、そしてnが大きいほど高くなる。本試験では「表がk回以上出たら棄却する」といった具体的な棄却ルールを与え、二項分布や正規分布からαやβを計算させる問題が出題されるため、定義の暗記にとどまらず数値計算まで対応できるようにしておくべきである。

p値の解釈は本試験で最も誤答を誘う論点である。p値とは「帰無仮説が正しいという仮定の下で、実際に観測された値と同じかそれ以上に対立仮説寄りに極端な検定統計量の値が得られる確率」であり、「帰無仮説が正しい確率」でも「結論が誤りである確率」でもない。この定義の言い換え選択肢を選ばせる問題が繰り返し出題されている。また片側検定と両側検定の区別も重要で、対立仮説がμ>μ0のように方向を持つ場合は片側検定、μ≠μ0の場合は両側検定を用い、同じデータであれば(統計量が対立仮説の方向にあるとき)片側p値は両側p値の半分になる。さらに、有意水準5%の両側検定でH0: μ=μ0が棄却されることと、95%信頼区間がμ0を含まないことは同値であるという、検定と区間推定の対応関係(双対性)も直接問われた実績のある重要な性質であり、第3章の区間推定と接続して理解しておくことが合格への近道である。